A Euclidean Approach to the FTC - Appendix II: Latin version of Proposition Six

Propositio 6. Problema.

Invenire curvam, quae ad suum axem eandem habeat rationem, quam figure qualibet exhibita ad rectangulum sibi inscriptum, et rectae datae seu quaesitae curvae axi applicatum.

Sit figure exhibita ABSO, rectangulum inscriptum ABRO; sitque curva BS simplex seu non sinuosa, si autem sit, dividenda est in plures simplices, et demonstratio seorsim instituenda. Deinde sit curva AFLP talis naturae, ut, ducta recta quacunque IN normali rectae AO, curvam AFLP secante in L, recta IN sit aequalis potentia utrique IL, IM; deinde ducatur curva AEKQ talis naturae, ut, ducta recta quacunque IM rectae AO perpendiculari et curvam AEKQ secante in K et AFLP in L, rectangulum MIL sit aequale mixtilineo IAFL. Dico figuram ABSO esse ad rectangulum ABRO ut curva AEKQ ad rectam AO. Sit in curva AFLP punctum ad libitum K, per quod ducatur recta IN, perpendicularis rectae AO et lineas AFLP, BR, BHNS, secans in L, M, N, punctis; sitque ut IL ad IM ita IK ad IC et ducatur KC: recta KC curvam AQ secat vel tangit in puncto K; si fieri potest, cam secet in K, et ideo intra curvam cadet nempe intra punctum E versus verticem A: ducatur per punctum E recta DH rectae IN parallella lineas AQ, AP, BR, BS, secans in punctis E, F, G, H, et rectam LC in a, item compleatur rectangulum ILZC, cuius latus LZ rectam DH secet in X. Quoniam IL est ad IM ut IK ad IC, erit rectangulum MIK seu mixtilineum IAFL aequale rectangulo IZ; et quonium rectangulum GDE est aequale mixtilineo DAF, erit ut IK ad DE ita mixtilineum IAFL ad mixtilineum DAF, at IK ad DE maiorem habet rationem quam ad Da; et ideo mixtilineum IAFL maiorem habet rationem ad mixtilineum DAF quam IK habet ad Da seu IC ad DC; et igitur mixtilineum IAFL maiorem habet rationem ad mixtilineum DAF quam rectagulum IZ ad rectangulum DZ, et per conversionem rationis mixtilineum IAFL ad mixtilineum IDFL habet minorem rationem quam rectangulum IZ ad rectangulum IX, et permutando mixtilineum IAFL ad rectagulum IZ minorem habet rationem quam mixtilineum IDFL ad rectangulum IX, cumque rectangulum IZ sit aequale mixtilineo IAFL, erit rectangulum IX minus mixtilineo IDFL, sed et maius est, quod est absurdum; et proinde recta KC intra curvam AQ non cadit versus verticem: si fieri potest, cadat recta CK intra curvam versus basem reliquis se habentibus ut in priore positione; eritque ut IK ad DE ita mixtilineum IAFL ad mixtilineum DALF, at IK ad DE maiorem habet rationem quam ad Da,; et ideo mixtilineum IAFL ad mixtilineum DALF, maiorem habet rationem quam IK ad Da seu IC ad DC; et igitur mixtilineum IAFL ad mixtilineum DALF maiorem habet rationem quam rectangulum IZ ad rectangulum DZ, et invertendo, per conversionem rationis et rursus invertendo, mixtilineum IAFL ad mixtilineum IDFL maiorem habet rationem quam rectangulum IZ ad rectangulum IX, et permutando mixtilineum IAFL ad rectangulum IZ maiorem habet rationem quam mixtilineum IDFL ad rectangulum IX, cumque mixtilineum IAFL sit aequale rectangulo IZ, erit rectangulum IX maius quam mixtilineum IDFL, sed et minus est, quod est absurdum; non cadit ergo recta CK intra curvam AQ versus basem; et ideo recta KC curvam AQ tangit in puncto K, rectae CK sit perpendicularis recta KT rectae AO occurrens in T; manifestum est CI esse ad CK ut IK ad KT; atque CI est ad CK ut MI ad NI, quoniam rectae IN, IM, IL efficiunt triangulum rectangulum simile triangulo CIK, cuius latera IM, IN, sunt homologa lateribus CI, CK et proinde ut IK ad KT ita IM ad IN; cumque hoc eodem modo fiat in omnibus punctis curvae AQ, manifestum est ex huius 2 rectam AO esse ad curvam AQ ut rectangulum OB ad figuram ABSO, quod demonstrare oportuit.