A Selection of Problems from A.A. Markov’s Calculus of Probabilities: Problem 3 – Some Generalizations of Problem 2

Author(s):

Alan Levine (Franklin and Marshall College)

This problem contains five generalizations of the previous problem. The first two are fairly straightforward, but later solutions become increasingly complex. Markov makes some interesting approximations involving Taylor series. There are ample opportunities for the reader to fill in details.

Задача 3^ья. Из сосуда, содержащего \(n\) билетов с нумерами \(1, 2, 3, \dots, n\) и никаких других, вынимают одновременно \(m\) билетов, что мы назовём первым тиражем.

Затем вынутые билеты возвращают в сосуд и производят подобный же второй тираж m билетов. По окончании второго тиража вынутые билеты возвращают также в сосуд и производят третий тираж \(m\) билетов и т.д.

Требуется при \(k\) таких тиражах определить:

1) вероятность, что \(i\) определённых нумеров не появятся;

2) вероятность, что \(i\) определённых нумеров не появятся, а другие \(l\) определённых нумеров появятся;

3) вероятность, что \(l\) определённых нумеров появятся;

4) вероятность, что появятся только \(l\) определённых нумеров;

5) вероятность, что появятся все нумера.

3^rd Problem. From a vessel containing \(n\) tickets with numbers \(1, 2, 3, \dots, n\), and no others, we select simultaneously \(m\) tickets, which we call the first draw.

Then the chosen tickets are returned to the vessel and we produce a similar second draw of \(m\) tickets. Upon finishing the second draw, the chosen tickets are again returned to the vessel and we produce a third draw of \(m\) tickets, etc.

It is required to determine, for \(k\) such draws:

1) the probability that \(i\) specific numbers do not appear;

2) the probability that \(i\) specific numbers do not appear, but another \(l\) specific numbers do appear;

3) the probability that \(l\) specific numbers appear;

4) the probability that only \(l\) specific numbers appear;

5) the probability that all numbers appear.

Continue to Markov's solution of Problem 3, Parts 1 and 2.

Continue to Markov's solution of Problem 3, Parts 3, 4, and 5.

Skip to statement of Problem 4.

Alan Levine (Franklin and Marshall College), "A Selection of Problems from A.A. Markov’s Calculus of Probabilities: Problem 3 – Some Generalizations of Problem 2," Convergence (November 2023)

Convergence

Tags:

History of Mathematics