James Gregory and the Pappus-Guldin Theorem - Latin Originals from the GPU (2)

Prop. 31.Theorema.

Si sint dua figura quaecunque circa axes, quae sic rotentur vt axes rotationis sint figura vniuseuiusque axi normales; ratio vnius solidi orti ex tali rotatione ad aliud solidum ex eadem genitum, componitur ex ratione directa figura ad figuram; & ex ratione directa intercepta inter centrum gravitatis & axem rotationis vnius figura ad similem interceptiam alterius figurae. 

Sint duae figurae quaecunque ABC, HIL, circa axes BF, IN, quae rotentur circa rectas EG, MO, axes figurarum (si opus est) productos BF, IN, normaliter secantes in punctis F, N, sintque figurarum ABC, HIL, centra gravitatis D, K. Dico rationem, solidi orti ex figura ABC rotata circa rectam EG ad solidum ortum ex figura HIL rotato circa rectam MD, componi ex ratione figurae ABC ad figuram HIL & ex ratione DF ad KN. Super figuris ABC, HIL, intelligantur cylindrici recti aequialti secti a planis transeuntibus per EG, MO, rectas, vnusquisque in duos truncos nempe superiotem & inferiorem. Ratio solidi ex ABC orti ad solidum ex HIL ortum, componitur ex ratione trunci inferioris cylindrici super ABC ad truncum inferiorem cylindrici super HIL, & ex ratione radii

rotationis figurae ABC ad radium rotationis figurae HIL; sed truncus inferior cylindrici super ABC est ad truncum inferiorem cylindrici super HIL in ratione composita, ex ratione trunci inferioris cylindrici super ABC ad totum cylindricum super ABC, ex ratione totius cylindrici super ABC ad totum cylindricum super H & ex ratione totius cylindrici super HIL ad truncum sui inferiorem: sed truncus inferior cylindrici super ABC est totum cylindricum, vt FD ad rotationis radium figurae AI ex consectario huius 29 conuertendo, & cylindricus supra ABC est ad cylindricum super HIL vt figura ABC ad figuram HIL, item cylindricus super HIL est ad truncum sui inferiorem vt radius rotationis figurae HIL ad KN, ex consectario huius 29; & proinde ratio trunci inferioris cylindrici super ABC ad truncum inferiorem cylindric super HIL componitur ex ratione rectae DF ad rotationis radium figurae BC, ex ratione figurae ABC, ad figuram HIL, & ex ratione radii rotationis figurae HIL ad rectam KN: & ideo ratio solidi orti ex rotatione figurae ABC ad solidum ortum ex rotatione figurae HIL componitur, ex ratione figurae ABC figuram HIL, ex ratione rectae DF ad radium rotationis figurae ABC, ex ratione radii rotationis figurae ABC ad radii rotationis figurae HIL, & ex ratione radii rotationis figurae HIL ad rectam KN: sed tres postremae rationes componum rationem DF ad KN; & igitur ratio solidi orti ex rotatio figurae ABC circa EG solidum ortum ex rotatione figurae HIL circa MO componitur ex ratione figurae ABC ad figuram HIL, & ex ratione interceptae inter centrum gravitatae figurae ABC & eius axem rotationis, nempe DF, ad interceptam inter centrum gravitatis figurae HIL & eiusdem axem rotationis, nempe KN, quod demonstrare oportuit.

Prop. 33. Theorema.

Si sint duae figurae quaecunque, quae rotentur circa axes quoscunque ratio vnius solidi orti ex tali rotatione ad solidum alterum ex eadem genitum, componetur ex directa ratione figurae ad figuram; & ex directa ratione interceptae inter centrum gravitatis & axem rotationis vnius figurae ad similem interceptam alterius figurae. 

Sint duae figurae quaecunque ABC, NQP, quae rotentur circa rectas EF, Y4: sintque earum contra gravitatis D, R, e quibus in axes rotationis EF, Y4, demittantur rectae perpendiculares DG, RZ. dico rationem solidi orti ex figura ABC rotata circa rectam EF ad solidum ortum ex figura NQP rotata circa rectam Y4 componi ex ratione figurae ABC, ad figuram NQP, & ex ratione DG ad RZ. Parallellae rectis DG, RZ, ducantur rectae BH, Q2, figuras ABC, NOP, tangentes in B, Q: & circa rectas BH, Q2, sicut axes, concipiantur reuolui figurae ABC, QNP, donec ex altera axium parte planum attingentes, efficiant figuras BLM, QTX, sibi ipsis aequales, similes, & ad rectas BH, EF; Q2, Y4, eandem prorsus positionem habentes: sint figurarum BLM, QTX, centra gravitatis, O, V; ducantur in rectas EF, Y4, perpendiculares OI, V3, iungantur quoque rectae DO, RV, rectas BH, Q2, intersecantes inpunctis K, S: manifestum est punctum K esse centrum

gravitatis integrae figurae BACBLM circa axem BH, item punctum S esse centrum gravitatis figurae integrae QNPQTX circa axem Q2; patet quoque rectas DG, KH, OI; item RZ, S2, V3, esse inter se aequales. Quoniam figurae BACBLM, QNPQTX sunt circa axes BH, Q2, axibus rotationis EF, Y4, normales; igitur solidum rotundum ortum ex rotatione figurae BACBLM circa rectam EF est ad solidum rotundum ortum ex rotatione figurae QNPQTX in ratione composita ex ratione figurae BACBLM ad figuram QNPQTX & ex ratione KH ad S2 per huius 3I; sed solidum ortum ex figura BACBLM rotata circa EF est duplum solidi orti ex figura BAC circa eandem EF rotata; item solidum ortum ex figura QNPQTX rotata circa rectam Y4 est duplum solidi orti ex figura QNP rotata circa eandem Y4; figura quoque BACBLM dupla est figurae BAC, & figura QNPQTX figurae QNP; cumque dimidia sint in eadem ratione cum suis duplis; solidum rotundum ortum ex figura ABC rotata circa rectam EF erit ad solidum rotundum ortum ex figura NQP rotata circa rectam Y4 in ratione composita ex ratione figurae ABC ad figuram NQP & ex ratione KH ad S2, sue DG ad RZ, quod demonstrare oportuit.

Consectarivm.

Sint sequitur, si centra gravitatis figurarum a rotationis axibus aequaliter distent, solida rotunda ex figurarum rotatione genita esse in directa ratione ipsarum figurarum, quod si figurae ipsae sint aequales, sequitur solida rotunda ex earum rotatione genita esse in ratione directa interceptarum inter centra gravitatis & rotationis axes: quod si interceptae sint aequales & figurae, etiamsi inter se diffimillimae, solida rotunda ex illis orta aequalia erunt.

Scholivm.

Ex dictis manifestum est inter duas quascunque figuras tres esse rationes, nempe; figurae ad figuram, solidi rotundi ex rotatione vnius figurae geniti, ad solidum rotundum ex rotatione alterius figurae genitum, & interceptae inter centrum gravitatis & axem rotationis vnius figurae ad similem interceptam alterius figurae, e quibus duas datas tertiam ignotam semper patefacere.

Prop. 35. Theorema.

Ciune solidum rotundum aequale est cylindrico rectae cuius basis est figura ex cuius rotatione gignitur solidum & altitudo circumferentia circuli in quae circumuoluitur centrum gravitatis figurae.

Sit figura quaecunque AB cuius gravitatis centrum C; ex figurae AB rotatione circa rectam DF fiat solidum rotundum, quod dico esse aequale cylindrico cuius basis AB figura & altitudo circumferentia circuli, in qua circumrotatur centrum gravitatis C. Sit rectangulum HGKI cuius centrum

gravitatis L; ex rotatione rectanguli HGKI circa latus HI concipiatur fieri cylindrus, & ex gravitatum centris C, L, in rotationis axes DF, HI, demittantur perpendiculares rectae CE, LO, quae sunt rotationis radii: manifestum est cylindrum genitum ex rotatione rectanguli HK circa HI aequalem esse solido cuius basis est circulus ex radio IK & altitudo HI, hoc est solido cuius basis est rectangulum ex IK in semicircumferentiam circuli ex radio IK vel totam circumferentiam ex radio OL & altitudo HI, quod idem circum solido cuius basis est rectangulum HK & altitudo circumferentia circuli ex radio OL; sed cylindrus ex rotatione HK circa HI est ad solidum rotundum ex rotatione AB circa DF in ratione composita ex proportione figurae HK ad figuram AB & rectae OL ad rectam EC seu circumferentia radii OL ad circumferentiam radii EC, atque solidum cuius basis HK & altitudo circumferentia radii OL, seu cylindrus genitus ex rotatione figurae HK circa HI, est ad solidum cuius basis AB & altitudo circumferentia radii EC in eadem ratione; & ideo cylinrus ex rotatione figurae HK circal DF vt idem praedictus cylindrus ad solidum cuius basis AB & altitudo circumferentia circuli ex radio EC; & proinde solidum rotundum ex rotatione figurae AB circa DF aequale est cylindrico cuius basis AB & altitudo circumferentia radii EC quod demonstrare oportuit.