The State Space Method Generalizations and Applications

Editorial Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

D. Alpay and I. Gohberg

Discrete Analogs of Canonical Systems with Pseudo-exponential Potential.

Definitions and Formulas for the Spectral Matrix Functions . . . . . . . . . . 1

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Review of the continuous case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 The asymptotic equivalence matrix function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 The other characteristic spectral functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 The continuous orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 The discrete case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 First-order discrete system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 The asymptotic equivalence matrix function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 The reflection coefficient function and the Schur algorithm . . . . . . 27

3.4 The scattering function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 The Weyl function and the spectral function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6 The orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.7 The spectral function and isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Two-sided systems and an example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 Two-sided discrete first-order systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 An illustrative example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

D. Alpay and D.S. Kalyuzhny˘ı-Verbovetzki˘ı

Matrix-J-unitary Non-commutative Rational Formal Power Series . . . 49

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 More on observability, controllability, and minimality

in the non-commutative setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Matrix-J-unitary formal power series:

A multivariable non-commutative analogue of the line case . . . . . . . . . . . 67

4.1 Minimal Givone–Roesser realizations and

the Lyapunov equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

vi Contents

4.2 The associated structured Hermitian matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Minimal matrix-J-unitary factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4 Matrix-unitary rational formal power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 Matrix-J-unitary formal power series:

A multivariable non-commutative analogue of the circle case . . . . . . . . . 77

5.1 Minimal Givone–Roesser realizations and the Stein equation . . . . 77

5.2 The associated structured Hermitian matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3 Minimal matrix-J-unitary factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4 Matrix-unitary rational formal power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Matrix-J-inner rational formal power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1 A multivariable non-commutative analogue of

the half-plane case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2 A multivariable non-commutative analogue of the disk case . . . . . 91

7 Matrix-selfadjoint rational formal power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.1 A multivariable non-commutative analogue of the line case . . . . . . 96

7.2 A multivariable non-commutative analogue of the circle case . . . . 100

8 Finite-dimensional de Branges–Rovnyak spaces and backward

shift realizations: The multivariable non-commutative setting . . . . . . . . 102

8.1 Non-commutative formal reproducing kernel

Pontryagin spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.2 Minimal realizations in non-commutative

de Branges–Rovnyak spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

D.Z. Arov and O.J. Staffans

State/Signal Linear Time-Invariant Systems Theory, Part I:

Discrete Time Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2 State/signal nodes and trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3 The driving variable representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4 The output nulling representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5 The input/state/output representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6 Transfer functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7 Signal behaviors, external equivalence, and similarity . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8 Dilations of state/signal systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Acknowlegment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Contents vii

J.A. Ball, G. Groenewald and T. Malakorn

Conservative Structured Noncommutative Multidimensional

Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

2 Structured noncommutative multidimensional linear systems:

basic definitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3 Adjoint systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4 Dissipative and conservative structured multidimensional

linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5 Conservative SNMLS-realization of formal power series

in the class SAG(U, Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

I. Gohberg, I. Haimovici, M.A. Kaashoek and L. Lerer

The Bezout Integral Operator: Main Property and

Underlying Abstract Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

2 Spectral theory of entire matrix functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

2.1 A review of the spectral data of an analytic matrix function . . . . 229

2.2 Eigenvalues and Jordan chains in terms of realizations . . . . . . . . . . 232

2.3 Common eigenvalues and common Jordan chains

in terms of realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

2.4 Common spectral data of entire matrix functions . . . . . . . . . . . . . . . 237

3 The null space of the Bezout integral operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

3.1 Preliminaries on convolution integral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

3.2 Co-realizations for the functions A, B, C, D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

3.3 Quasi commutativity in operator form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3.4 Intertwining properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

3.5 Proof of the first main theorem on the Bezout

integral operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4 A general scheme for defining Bezout operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

4.1 A preliminary proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

4.2 Definition of an abstract Bezout operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

4.3 The Haimovici-Lerer scheme for defining an abstract

Bezout operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.4 The Bezout integral operator revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

4.5 The null space of the Bezout integral operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268