Poisson Structures and Their Normal Forms

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1 Generalities on Poisson Structures

1.1 Poisson brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Poisson tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Poissonmorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Local canonical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Singular symplectic foliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Transverse Poisson structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Group actions and reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 The Schouten bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8.1 Schouten bracket of multi-vector fields . . . . . . . . . . . . 27

1.8.2 Schouten bracket on Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8.3 Compatible Poisson structures . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9 Symplectic realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Poisson Cohomology

2.1 Poisson cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Definition of Poisson cohomology . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.2 Interpretation of Poisson cohomology . . . . . . . . . . . . 40

2.1.3 Poisson cohomology versus de Rham cohomology . . . . . . 41

2.1.4 Other versions of Poisson cohomology . . . . . . . . . . . . 42

2.1.5 Computation of Poisson cohomology . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Normal forms of Poisson structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Cohomology of Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.1 Chevalley–Eilenberg complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.2 Cohomology of linear Poisson structures . . . . . . . . . . . 51

2.3.3 Rigid Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Spectral sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.1 Spectral sequence of a filtered complex . . . . . . . . . . . . 54

2.4.2 Leray spectral sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.3 Hochschild–Serre spectral sequence . . . . . . . . . . . . . . 57

viii Contents

2.4.4 Spectral sequence for Poisson cohomology . . . . . . . . . . 59

2.5 Poisson cohomology in dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5.1 Simple singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5.2 Cohomology of Poisson germs . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.5.3 Some examples and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.6 The curl operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.6.1 Definition of the curl operator . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.6.2 Schouten bracket via curl operator . . . . . . . . . . . . . . 71

2.6.3 Themodular class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.6.4 The curl operator of an affine connection . . . . . . . . . . 73

2.7 Poisson homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Levi Decomposition

3.1 Formal Levi decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 Levi decomposition of Poisson structures . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3 Construction of Levi decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4 Normed vanishing of cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.5 Proof of analytic Levi decomposition theorem . . . . . . . . . . . . 92

3.6 The smooth case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Linearization of Poisson Structures

4.1 Nondegenerate Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.2 Linearization of low-dimensional Poisson structures . . . . . . . . . 107

4.2.1 Two-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.2.2 Three-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2.3 Four-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3 Poisson geometry of real semisimple Lie algebras . . . . . . . . . . 112

4.4 Nondegeneracy of aff(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.5 Some other linearization results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.5.1 Equivariant linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.5.2 Linearization of Poisson–Lie tensors . . . . . . . . . . . . . 122

4.5.3 Poisson structures with a hyperbolic Rk-action . . . . . . . 124

4.5.4 Transverse Poisson structures to coadjoint orbits . . . . . . 125

4.5.5 Finite determinacy of Poisson structures . . . . . . . . . . . 126

5 Multiplicative and Quadratic Poisson Structures

5.1 Multiplicative tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2 Poisson–Lie groups and r-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.3 The dual and the double of a Poisson-Lie group . . . . . . . . . . . 136

5.4 Actions of Poisson–Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.4.1 Poisson actions of Poisson–Lie groups . . . . . . . . . . . . 139

5.4.2 Dressing transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.4.3 Momentummaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5 r-matrices and quadratic Poisson structures . . . . . . . . . . . . . 145

Contents ix

5.6 Linear curl vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.7 Quadratization of Poisson structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.8 Nonhomogeneous quadratic Poisson structures . . . . . . . . . . . 156

6 Nambu Structures and Singular Foliations

6.1 Nambu brackets and Nambu tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.2 Integrable differential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.3 Frobenius with singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.4 Linear Nambu structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.5 Kupka’s phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.6 Linearization of Nambu structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.6.1 Decomposability of ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.6.2 Formal linearization of the associated foliation . . . . . . . 185

6.6.3 The analytic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.6.4 Formal linearization of Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.6.5 The smooth elliptic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.7 Integrable 1-forms with a non-zero linear part . . . . . . . . . . . . 192

6.8 Quadratic integrable 1-forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.9 Poisson structures in dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7 Lie Groupoids

7.1 Some basic notions on groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.1.1 Definitions and first examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.1.2 Lie groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.1.3 Germs and slices of Lie groupoids . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.1.4 Actions of groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.1.5 Haar systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.2 Morita equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.3 Proper Lie groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.3.1 Definition and elementary properties . . . . . . . . . . . . . 213

7.3.2 Source-local triviality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.3.3 Orbifold groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.4 Linearization of Lie groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.4.1 Linearization of Lie group actions . . . . . . . . . . . . . . 217

7.4.2 Local linearization of Lie groupoids . . . . . . . . . . . . . . 218

7.4.3 Slice theorem for Lie groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.5 Symplectic groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

7.5.1 Definition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . 223

7.5.2 Proper symplectic groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.5.3 Hamiltonian actions of symplectic groupoids . . . . . . . . 232

7.5.4 Some generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

x Contents

8 Lie Algebroids

8.1 Some basic definitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.1.1 Definition and some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.1.2 The Lie algebroid of a Lie groupoid . . . . . . . . . . . . . 237

8.1.3 Isotropy algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.1.4 Characteristic foliation of a Lie algebroid . . . . . . . . . . 239

8.1.5 Lie pseudoalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.2 Fiber-wise linear Poisson structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.3 Lie algebroidmorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.4 Lie algebroid actions and connections . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

8.5 Splitting theorem and transverse structures . . . . . . . . . . . . . 246

8.6 Cohomology of Lie algebroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

8.7 Linearization of Lie algebroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

8.8 Integrability of Lie brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.8.1 Reconstruction of groupoids from their algebroids . . . . . 257

8.8.2 Integrability criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

8.8.3 Integrability of Poisson manifolds . . . . . . . . . . . . . . . 262

Appendix

A.1 Moser’s path method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

A.2 Division theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

A.3 Reeb stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

A.4 Action-angle variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

A.5 Normal forms of vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

A.5.1 Poincar´e–Dulac normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

A.5.2 Birkhoff normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

A.5.3 Toric characterization of normal forms . . . . . . . . . . . . 280

A.5.4 Smooth normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

A.6 Normal forms along a singular curve . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

A.7 The neighborhood of a symplectic leaf . . . . . . . . . . . . . . . . 286

A.7.1 Geometric data and coupling tensors . . . . . . . . . . . . . 286

A.7.2 Linearmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

A.8 Dirac structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

A.9 Deformation quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317